下面是小编为大家整理的聊一聊尺规作图（全文）,供大家参考。
尺规作图 ——正多边形及两圆公切线作法探究 海南中学 高一（1）
班 洪璐 陈洁盈
课题研究的目的 从简单图形的作法中归纳出尺规作图的常用方法， 并总结出作图时的一般思路， 以便在今后的学习过程中遇到此类问题时能举一反三， 更好、 更快地解决问题。
课题研究的价值
可行性：
我们已具备一定的数学归纳能力，可以从学习中归纳出一般思路及常用方法。实用性：
由于归纳出的方法可推广到多种图形， 所以这对以后解决此类型的问题有很大帮助。
挑战性：
通过对此课题的研究， 能极大地提高我们的逻辑思维能力， 更好地掌握提出、分析、 解决数学问题的方法。
研究方案的制定
对多种图形的作法进行权衡比较， 选出最能体现作图思路的图形作法作为主要研究对象。
资料的搜集 搜集途径：
网上搜集 搜集内容：
尺规作图的历史 课题研究的过程
1、 在小组内进行分工， 按分工的内容研究其图形的作法及其所体现的思维方法。
2、 将初步成果在班级内进行交流， 广纳同学们的意见及方法， 对初步成果进行加工改进。3、 将初步改进后的成果交由指导老师评价，接受老师的意见， 对成果进一步改进。
研究过程中的困难及解决 研究的初步成果 通过对多种图形的作法研究， 我们总结出了两种尺规作图的常用方法——等线段法和性质法。
等线段法：
用已知图形的线段作出与所求图形边长相等的线段 。
性质法：
先分析所求作图形与已知图形的性质关系， 然后根椐这些相关性质和关系作出图形
由简单到复杂的归纳法 研究的主要方法
查证的主要文献资料
《十万个为什么之数学分册》少年儿童出版社
成果论文 自 古时候起， 尺规作图就是一个引 人入胜的数学问题。
时至今日 ， 这个如希 腊神话般神秘的数学问题仍吸引 着无数学者的目 光、 受到人们的重视， 并且在初中课本中也渗透了 一些关 于基本 图形的尺规作法 。
但是我们并不满足于课本上的内容， 并且在不断学习 和探索中发现了 更多 关 于尺规作图的问题及其解决方法 ， 总结归纳了 解决尺规作图的一般思路。
关键词
尺规作图
正多边形
两圆的公切线
希腊是奥林匹克运动的发源地。
奥运会上的每一个竞赛项目， 对运动器械都有明确的规定， 不然的话， 就不易显示出谁“更快、 更高、 更强” 。
一些古希腊人认为， 几何作图也应像体育竞赛一样， 对作图工作作一番明确的规定， 不然的话， 就不易显示出谁的逻辑思维能力更强。
应该怎样限制几何作图工具呢？ 他们认为， 几何图形都是由直线和圆组成的， 有了直尺和圆规， 就能作出这两样图形， 不需要再添加其他的工具。
于是规定在几何作图时， 只准许使用圆规和直尺， 并且规定只准许使用有限次。
它使用的直尺和圆规带有想像性质， 跟现实中的并非完全相同：
直尺必须没有刻度， 无限长， 只有一只角。
只可以用它来将两个点连在一起， 不可以在上画刻度。
圆规可以开至无限宽， 但上面亦不能有刻度。
它只可以拉开成你之前构造过的长度。
由于有了这样一个规定， 一些普普通通的几何作图题， 顷刻间变得身价百倍， 万众瞩目，甚至有不少题目让西方数学家苦苦思索了 2000 多年。
一、 几种正多 边形的作法 尺规作图以它特有的魅力， 使无数的人沉湎其中， 乐而忘返。
连拿破仑这样一位威震欧洲的风云人物， 在转战南北的余暇， 也常常沉醉于尺规作图的乐趣中。
有一次， 他还编了一道尺规作图题， 向全法国数学家挑战呢。
拿破仑出的题目是：
"只准许使用圆规， 将一个已知圆心的圆周 4 等分。
" 由于圆心 O 是已知的， 求出这个题目的答案并不难。
正四边形的作法：
1、 在圆周上任意选一点Ａ， 以 A 点为圆心， OA 长为半径作弧， 交圆 O 于点 B；
2、 以点 B 为圆心， OA 长为半径作弧， 交圆 O 于点 C；
3、 以点 C 为圆心， OA 长为半径作弧， 交圆 O 于点 D；
4、 分别以 A 点和 D 点为圆心， AC 长为半径作弧， 两弧交于点 M；
5、 用圆规量出 OM 的长度， 以点 A 为起点， 逐一在圆周上划分， 便可将圆周 4
等分。
证明：
设 AO=a ∵AO=BO=AB ∴∠BOA=60°
同理， ∠BOC=∠COD=60°
∴点 A、 D、 O 在同一直线上， AD 为圆的直径 由勾股定理， AC² =AD² -CD² =3a²
∵AM=DM， AO=DO ∴MO⊥AD， 由勾股定理， MO² =AM² -AO² =AD² -AO² =2a²
∴2AE² =AD²
∴四边形 AEDF 是正四边形 如果再增添一把直尺， 将这些 4 等分点连接起来， 就可以得到一个正 4 边形。
由此不难看出， 等分圆周与作正多边形实际上是一回事。
如果再加上一把直尺来作正四边形， 那就更加容易了。
四边形作出来了, 那么怎样用尺规作出一个正五边形和正六边形呢？
以下是一种正五边形的作法：
1、
作一个圆， 设它的圆心为 O；
EFMDCBOA
2、 作圆的两条互相垂直的直径 AZ 和 XY；
3、 作 OY 的中点 M；
4、 以点 M 为圆心， MA 为半径作圆， 交 OX 于点 N；
5、 以点 A 为圆心， AN 为半径， 在圆上连续截取等弧， 使弦 AB=BC=CD=DE=AN， 则五边形 ABCDE 即为正五边形。证明：
设圆的半径为R， 由上述正五边形的作法可知AN2=AO2+ON2=AO2+（AM-OM）2所以AN=12由于半径为R的正五边形的边长a=AN,所以五边形ABCDE即为正五边形1 0-2 5REDCBNMXZAOY 以上两种图形的作法运用了 所求图形边长与已知的线段长度的关系， 用构造直角三角形的方法作出与所求图形的边长相等的线段， 从而作出整个图形， 这是尺规作图中常用的一种方法——等线段法， 即用已知图形的线段作出与所求图形边长相等的线段。
正六边形的作法：
1、 作直径 AD；
2、 分别为 A、 D 为圆心， 以⊙O半径 OA 为半径画弧交⊙O 于 B、F、C、 E；
3、 依次连结 AB、 BC、 CD、 DE、 EF、FA． 则六边形 ABCDEF 即为所求作的正六边形．
证明：
连结 OB、 OC、 OE、 OF．
∵AB=OA=OB， ∴∠AOB=60° ，
同理 ∠DOE=∠COD=∠AOF=60° ．
∵∠AOD=180° ，
FEBCOAD
∴∠BOC=∠EOF=60° ．
∴∠AOB=∠BOC=∠COD=∠DOE=∠EOF=∠FOA
∴六边形 ABCDEF 是正六边形．
上面这种尺规作图的方法运用了 所作图形与载体圆的特殊关系和性质， 这也是尺规作图中的一种常见作法——性质法， 即先分析所求作图形与已知图形的性质关系， 然后根椐这些相关性质和关系作出图形。
四、 五、 六边形都作出来了， 不过， 要用尺规作出正７ 边形可就不那么容易了。
别看由6 到 7， 仅仅只增加了一条边， 却一跃成为古代几何的四大名题之一。
尺规作图题就是这样变化莫测。
这个看上去非常简单的题目， 曾经使许多著名数学家都束手无策。
后来， 大数学家阿基米德发现了前人之所以全都失败了的原因：
正 7 边形是不能由尺规作出的。
阿基米德从理论上严格证明了这一结论。
那么， 采用尺规作图法， 究竟有哪些正多边形作得出来， 有哪些作不出来呢？
有人猜测：
如果正多边形的边数是大于 5 的质数， 这种正多边形就一定作不出来。
7 是一个比 5 大的质数， 按上面这种说法， 正 17 边形是一定作不出来的。
在过去的 2000 年里，确实有许多数学家试图作出正 17 边形， 但无一不遭受失败。
岂料在 1796 年， 18 岁的大学生高斯居然用尺规作出了一个正 17 边形， 顿时震动了整个欧洲数学界。
这件事也深深震动了高斯， 使他充分意识到自己的数学能力， 从此决心献身于数学研究，后来终于成为一代数学大师。
高斯还发明了一个判别法则， 指出什么样的正多边形能由尺规作出， 什么样的正多边形则不能， 圆满地解决了正多边形的可能性问题。
高斯指出， 如果仅用圆规和直尺， 作圆内接正多边形， 当边数满足如下特征之一方可做出：
1)
正偶数；
2)
正奇数且边数为费马质数或不同的费马质数乘积（费马质数是质数且型如,
k是非负正整数）
高斯的判别法则表明， 能够由尺规作出的正多边形是很少的， 例如， 在边数是 100 以内的正多边形中， 能够由尺规作出的只有 24 种。
有趣的是， 正 7 边形的边数虽少， 却不能由尺现作出； 而正 257 边形， 边数多得叫人实际上很难画出这样的图形， 却一定可由尺规作出。
1832 年， 数学家黎克洛根据高斯指出的原则， 解决了正 257 边形的作图问题。
他的作图步骤极其繁琐， 写满了 80 页纸， 创造了一项"世界纪录"。
不久， 德国人赫尔梅斯又刷新了这个纪录。
他费了 10 年功夫， 解决了正 65537 边形的作图问题。
这是世界上最繁琐的尺规作图题。
据说， 赫尔梅斯手稿可以装满整整一手提箱呢！
二、 两圆的公切线的作法
了解以圆为载体作出正多边形的作法并不是我们最终的目的， 掌握其中的数学思想和分析解题方法才是最重要的。
下面就以作两圆的公切线为例， 逐步阐明有关这类问题的一般分析解决方法。
两圆的外公切线有多种情况， 有两圆相切、 相离和相交三种情况， 在不同的情况下， 这些切线具有一些不同的性质。
我们先从最特殊的两圆相切的外公切线入手。
相切两圆的公切线 （1）
内公切线 由于两圆相切， 切点即为两圆心连线与圆相交的点， 所以只需过切点作直线垂直于两圆心的连线即为两圆的内公切线。
（2）
外公切线 作法：
1、 过点 A 作两圆的内公切线 MN， 连结 BC；
2、 以 BC 为直径作圆， 交 MN 于点 F；
3、 以点 F 为圆心， AF 长为半径作圆， 分别交圆 B 和圆 C 于点 D、 点 E；
4、 过点 D 和点 E 作直线 DE， 直线 DE 即为两圆的外公切线。
证明：
连结 DF、 FE ∵BC 是⊙C 的直径， 点 F 在⊙C 上
∴∠CFB 是直角 ∵DF=AF， DB=AB， BF=BF
∴⊿FDB≌⊿FAB ∴∠FDA=∠FAB=90° ， ∠DFB=∠AFB， 同理∠CEF=90° ， ∠AFC=∠CFE 又∵∠BFC=90°
∴∠DFA+∠AFE=180°
∴点 E、 F、 D 在同一直线上 ∴直线 ED 为两圆的公切线 ADEFBCMN
分析过程：
1、 先粗略作出两圆的内外公切线， 观察它们之间的联系与性质；
2、 由草图可知由于 AF=FD=FE （点 E、 D 分别为两圆切点， F 为内外公切线的交点，A 为相切两 圆的切点）
， 所以只要作出 F 点， 又因为 AF 是可求的， 就可以作出外公切线；
3、 因为∠DFB=∠AFB， ∠AFC=∠EFC， 所以∠BFC=90° ， 所以只需以 BC 为圆心作圆， 就可作出 90° 的角， 而点 F 又在圆的内公切线上， 故所作新圆与内公切线的交点即为 F点。
由上面的分析过程可总结出尺规作图的一种一般思路， 即对于先粗略地作出所求作图形， 然后找出可作出所求图形的关键点（线）
， 把作图转化为求作关键点（线）
， 接着研究分析关键点（线）
的性质， 试图从这些性质中找出作出这一点（线）
的方法。
上面的作图方法中还体现了一种尺规作图中常见的思路， 即直角法。
我们知道在圆中直径所对的角为直角， 这样我们就可以在只知道直角三角线斜边的情况下作出直角， 如果再知道这个直角的项点在圆周上的位置， 那么就可作出这个直角了。
特殊的两圆的公切线作出来了， 那么一般的两圆的公切线该如何作呢？
思路一：
1、 粗略地作出已知两圆的外公切线， 观察它们的一般性质；
2、 由于两圆的外公切线与两圆心连线交于一点， 连结各圆心与切点就能构出两个有一个角是直角的相似三角形；
3、 分析这两个相似三角形的边的比例关系， 根据课本中一种用尺规作成比例线段的作法，试图用已知边来作出未知边。
作法：
1、 任意作直线 l 和直线 p 交于点 C；
2、 在 l 上截取 CF 等于圆 A 的半径， CD 等于圆 A 与圆 B 的半径之差；
3、 在 p 上截取 CE=AB， 连结 DE；
4、 过点 F 作 FG∥DE 交直线 p 于点 G；
5、 在直线 AB 上截取 AO=CG， 并且点 O 和点 A 分别在点 B 的两侧；
6、 以 BO 为圆心作圆交圆 B 于点 N， 则直线 ON 即为两圆的外公切线。
证明：
过点 A 作 AM⊥ON 于点 M 设圆 A 的半径为 a， 圆 B 的半径为 b，
∵DE∥FG
∴⊿CDE∽⊿CFG ∴CE∶ CG=CD∶ CG， 即 AB∶ AO=（a-b）
∶ a
∴BO∶ AO=b∶ a ∵∠BNO=∠AMO=90°
∴⊿AMO∽⊿BNO ∴BO∶ AO=BN∶ AM， 即 BO∶ AO=b∶ AM
∴AM=b， 即 AM 为圆 A 的半径，
∴直线 NO 为两圆的外公切线 plMGNABCFDOE
上面的作图方法主要是运用了等线段法， 思考过程是按照前面所介绍的一般思路来思考， 在粗略地作出草图后， 找到了关键点 O， 然后根据点 O 所具有的特殊性质作出点 O， 再用直角法作出切线。
上面的作图过程还体现了尺规作图中一种其本图形画法的应用——比例线段作法。
用此法可以解决求作已知成比例线段的问题。
上面的作图方法虽然烦琐， 但也是一种重要的作图方法。
下法就介绍一种更简便的方法。
思路二：
1、 粗略作出草图， 分析其间关系；
2、 在平时做求公切线长度的题中， 常用的作辅助线的作法就是， 过小圆圆心作直线， 垂直于大圆圆心与切点连结而成的线段， 然后用勾股定理来求公切线的长度；
3、 按此作辅助线的作法作出辅助线， 分析发现其中关系， 作出图形。
作法：
1、 以 AB 为直径作圆， 交以点 A 为圆心， ⊙A 和⊙B 的半径之差长为半径作的圆于点E；
2、 连结 AE 并延长 AE 交⊙A 于点 F；
3、 过点 F 作 AF 的垂线 l， 则直线 l 即为两圆的外公切线。
证明：
过点 B 作 BG⊥l， 并且交 l 于点 G， 设圆 A 的半径为a， 圆 B 的半径为 b ∵∠FEB=∠EFG=∠FGB=90°
∴四连形 EFGB 是矩形 ∴BG=EF=AF-AE=a-（a-b）
=b
∴直线 l 是两圆的外公切线 上面的作图方法是性质法， 作图过程也遵守了上面所介绍的一般思维方法， 找出关键点 E， 然后作出图形。
这种方法与平时的一般作辅助线的方法联系紧密， 这也从某种角度说明了 尺规作图与作辅助线间的关系， 我们可以从平时的作题过程中积累作辅助线的方...
