数形结合论文参考文献在数学教学中渗透数形结合思想在数学教学中，教师如果能灵活地借助数形结合思想，会将数学问题化难为易，帮助学生理解数学问题。那么，如何在初中下面是小编为大家整理的数形结合论文参考文献9篇,供大家参考。
数形结合论文参考文献篇1
在数学教学中渗透数形结合思想
在数学教学中，教师如果能灵活地借助数形结合思想，会将数学问题化难为易，帮助学生理解数学问题。那么，如何在初中数学教学中挖掘数形结合思想并适时地加以应用呢？下面笔者根据日常的教学实践谈谈自己的见解。
一、从有理数开始就让中学生及早体会数形结合思想
在七年级开始，数轴的引入就大大丰富了有理数的内容，对学生认识有理数、相反数、绝对值以及有理数的运算都有很大的帮助，由于对每一个有理数，数轴上都有唯一确定的点与它对应，因此，两个有理数大小的比较，是通过这两个有理数在数轴上的对应点的位置关系进行的。相反数、绝对值概念则是通过相应的数轴上的点与原点的位置关系来刻划的。尽管我们学习的是有理数，但我们要求学生时刻牢记它的形：数轴上的点。通过渗透数形结合的思想方法，帮助学生正确理解有理数的性质及其运算法则。
例如:
1、比较两个数的大小方法：数轴上两个点表示的数，右边的数总比左边的大，正数大于零，负数小于0，正数大于负数；
2、比2℃低5℃的温度是_______；
3、若|a|=2，则a=______；
4、七年级《数学》(上)的习题，一辆货车从超市出发，向东走了3千米到达小彬家，继续走了1.5千米到达小颖家，然后向西走了9.5千米到达小明家，最后回到超市。在习题中也常出现这类题目。
这些内容如果适当应用数形结合的思想就很容易理解掌握了。
二、不等式(组)内容蕴藏着数形结合思想
在进行 “一元一次不等式和一元一次不等式组”，教学时，为了加深学生对不等式解集的理解，老师要适时地把不等式的解集在数轴上直观地表示出来，使学生形象地看到，不等式有无限多个解。这里蕴藏着数形结合的重要思想方法，在数轴上表示数是数形结合思想的具体体现，而在数轴上表示数集，则比在数轴上表示数又前进了一步。确定一元一次不等式组的解集时，利用数轴更为有效，如：在分析不等式组的解集情况时，如果老师利用数轴把数转化为“形”从而找出两个不等式的公共解，教学效果会事倍功半。如果老师能结合数轴，画图表示各个不等式的解集，就很容易写出不等式组几种类型的解集。
三、应用题的内容也隐含丰富的数形结合思想。
用示意图分析数学问题，就是运用数形结合思想的充分体现。小学教师在帮助学生分析解应用题，尤其有关行程问题、工程问题等方面的内容时，都不忘用示意图。而到了中学，学生的理解分析能力都有了很大的提高，应用题的内容更为丰富了，复杂了、难度更大了，并且其难点是如何根据题意寻找等量关系布列方程，要突破这一难点，老师在教学中必须充分运用数形结合思想，根据题意画出相应的示意图，才能帮助学生迅速找出等量关系列出方程，从而突破难点。数形结合的思想，是最基本的数学思想之一，应用范围较为广泛，因此我们数学老师在教学中要注重数形结合思想方法的渗透、概括和总结，要重视数学思想方法在解题中的应用，数与形是数学中相互依赖的两个方面，在教学中要挖掘数与形的联系，从而加深对所学知识的理解和掌握。
数形结合论文参考文献篇2
小学数学数形结合教学思想
一、数形结合教学思想在小学数学教学中的运用
数形结合作为一种教学思想方法，一般包含两方面内容，一个方面是“以形助数”，另一个方面的内容是“以数解形”。下面介绍这两个方面的内容在小学数学教学中的运用。
（一）以形助数
所谓“以形助数”，是指老师在讲解某些数学知识的时候，仅靠数字讲解学生不太能理解，借助几何图形的特点，将所要讲的知识点更直观地展现在学生面前，从而将抽象化的问题转变为具体化的问题。学生在学习行程问题的应用题时，可以运用图形的办法清晰地展现问题。如：一辆汽车从甲地开往乙地，先是经过上坡路，然后是平地，最后是下坡路，汽车上坡速度是每小时20千米，在平地的速度是每小时30千米，而下坡的速度则是每小时40千米，汽车从甲地到乙地一共上坡花了6小时，平地花了2小时，下坡花了4小时。请问汽车从乙地到甲地需要多长时间？在这道题中，既存在变量，又存在不变量。变量就是上坡路和下坡路随着汽车行驶的方向而发生改变，当汽车从乙地到甲地行驶时，原先的上坡路变成了下坡路，原先的斜坡路变成了上坡路。而不变量就是这两个路程汽车行驶的速度都是始终不变的。那么在解决问题的时候，就可以直观地展现出来。先算出汽车从乙地到甲地的上坡时间，即（40×4）÷20=8（小时），然后算出下坡所花费的时间，即（20×6）÷40=3（小时），而平地所花费的时间是不变的，所以汽车从乙地到甲地所花费的时间是8+3+2=13（小时）。在这道题中，运用图像将数学中的数量关系、运算都直观地展现出来，学生比较易于理解，这样的教学可以在很大程度上提高教学效率。
（二）以数解形
虽然图形可以更加直观地展现数学中的数量关系，但是对于一些几何图形，特别是小学数学中的几何图形来讲，非常简单，如果仅仅是通过直接观察反而看不出规律，这时就可以运用“以数解形”的方式教学。比如老师在讲解“平行四边形的特征”一课时，很多学生通过学习，对概念性的东西已经非常了解，但是在具体的情况下又不能真正把握清楚，老师在教学过程中就可以通过对四边形进行赋值，让学生更深刻地理解和把握。比如给出三组数字：（1）6，5，3，7（2）7，5，5，7（3）8，6，4，6在这三组数字中，让学生选择平行四边形。那么学生理解了平行四边形的概念，即两组对边要平行且相等，通过比较分析，知道只有第二组数字符合平行四边形的概念。因此，在这样的教学中应该充分运用“数”与“形”的特点，帮助学生更快地掌握知识要点。
二、在小学数学教学中运用数形结合教学思想需要注意的问题
（一）注意培养学生运用数形结合方法的习惯
老师在小学数学中运用数形结合的方法进行教学，帮助学生更好地理解知识点，同时要注意培养学生运用数形结合方法解决数学题的习惯。小学生在平时的做题过程中，常常会忘了使用“数形结合”方法，有的还不会。因此，老师在平时的教学中，一定要培养学生养成运用数形结合方法的好习惯。针对不同的年龄段学生，采用不同的方法，比如低年级学生，引导学生在生活中找实物，高年级的学生则学会简单的画图等，让学生建立数形结合的思想。
（二）数形结合要注意利用多媒体技术 多媒体的发展已经迅速蔓延到教学领域，对于比较难懂的知识点，老师要借助多媒体技术实施教学。因为多媒体技术可以移动图像，当碰到需要运用想象思维的时候，可以在多媒体中进行展示。
三、结语
在小学数学中运用数形结合教学思想，可以有效提高课堂教学效率，帮助学生更快地理解知识点。教师应根据不同情况，综合运用“以形助数”和“以数解形”这两种不同方式，取得更好的教学效果。
作者：季利明 工作单位：赤峰市元宝山区元宝山镇马林小学
数形结合论文参考文献篇3
在数学教学中渗透数形结合思想
在数学教学中，教师如果能灵活地借助数形结合思想，会将数学问题化难为易，帮助学生理解数学问题。那么，如何在初中数学教学中挖掘数形结合思想并适时地加以应用呢？下面笔者根据日常的教学实践谈谈自己的见解。
一、从有理数开始就让中学生及早体会数形结合思想
在七年级开始，数轴的引入就大大丰富了有理数的内容，对学生认识有理数、相反数、绝对值以及有理数的运算都有很大的帮助，由于对每一个有理数，数轴上都有唯一确定的点与它对应，因此，两个有理数大小的比较，是通过这两个有理数在数轴上的对应点的位置关系进行的。相反数、绝对值概念则是通过相应的数轴上的点与原点的位置关系来刻划的。尽管我们学习的是有理数，但我们要求学生时刻牢记它的形：数轴上的点。通过渗透数形结合的思想方法，帮助学生正确理解有理数的性质及其运算法则。
例如:
1、比较两个数的大小方法：数轴上两个点表示的数，右边的数总比左边的大，正数大于零，负数小于0，正数大于负数；
2、比2℃低5℃的温度是_______；
3、若|a|=2，则a=______；
4、七年级《数学》(上)的习题，一辆货车从超市出发，向东走了3千米到达小彬家，继续走了1.5千米到达小颖家，然后向西走了9.5千米到达小明家，最后回到超市。在习题中也常出现这类题目。
这些内容如果适当应用数形结合的思想就很容易理解掌握了。
二、不等式(组)内容蕴藏着数形结合思想
在进行 “一元一次不等式和一元一次不等式组”，教学时，为了加深学生对不等式解集的理解，老师要适时地把不等式的解集在数轴上直观地表示出来，使学生形象地看到，不等式有无限多个解。这里蕴藏着数形结合的重要思想方法，在数轴上表示数是数形结合思想的具体体现，而在数轴上表示数集，则比在数轴上表示数又前进了一步。确定一元一次不等式组的解集时，利用数轴更为有效，如：在分析不等式组的解集情况时，如果老师利用数轴把数转化为“形”从而找出两个不等式的公共解，教学效果会事倍功半。如果老师能结合数轴，画图表示各个不等式的解集，就很容易写出不等式组几种类型的解集。
三、应用题的内容也隐含丰富的数形结合思想。
用示意图分析数学问题，就是运用数形结合思想的充分体现。小学教师在帮助学生分析解应用题，尤其有关行程问题、工程问题等方面的内容时，都不忘用示意图。而到了中学，学生的理解分析能力都有了很大的提高，应用题的内容更为丰富了，复杂了、难度更大了，并且其难点是如何根据题意寻找等量关系布列方程，要突破这一难点，老师在教学中必须充分运用数形结合思想，根据题意画出相应的示意图，才能帮助学生迅速找出等量关系列出方程，从而突破难点。数形结合的思想，是最基本的数学思想之一，应用范围较为广泛，因此我们数学老师在教学中要注重数形结合思想方法的渗透、概括和总结，要重视数学思想方法在解题中的应用，数与形是数学中相互依赖的两个方面，在教学中要挖掘数与形的联系，从而加深对所学知识的理解和掌握。
数形结合论文参考文献篇4
高考冲刺：数形结合
编稿：林景飞
审稿：张扬
责编：辛文升 热点分析 高考动向
数形结合应用广泛，不仅在解答选择题、填空题中显示出它的优越性，而且在解决一些抽象数学问题中常起到事半功倍的效果。高考中利用数形结合的思想在解决选、填题中十分方便，而在解答题中书写应以代数推理论证为主，几何方法可作为思考的方法。数形结合的重点是研究“以形助数”，但“以数解形”在近年高考试题中也得到了加强，其发展趋势不容忽视。历年的高考都有关于数形结合思想方法的考查，且占比例较大。
知识升华
数形结合是通过“以形助数”（将所研究的代数问题转化为研究其对应的几何图形）或“以数助形”（借助数的精确性来阐明形的某种属性），把抽象的数学语言与直观的图形结合起来思考，也就是将抽象思维与形象思维有机地结合起来，是解决问题的一种数学思想方法。它能使抽象问题具体化，复杂问题简单化，在数学解题中具有极为独特的策略指导与调节作用。
具体地说，数形结合的基本思路是：根据数的结构特征，构造出与之相应的几何图形，并利用图形的特性和规律，解决数的问题；或将图形信息全部转化成代数信息，使解决形的问题转化为数量关系的讨论。
选择题，填空题等客观性题型，由于不要求解答过程，就某些题目而言，这给学生创造了灵活运用数形结合思想，寻找快速思路的空间。但在解答题中，运用数形结合思想时，要注意辅之以严格的逻辑推理，“形”上的直观是不够严密的。 1．高考试题对数形结合的考查主要涉及的几个方面：
（1）集合问题中Venn图（韦恩图）的运用；
（2）数轴及直角坐标系的广泛应用；
（3）函数图象的应用；
（4）数学概念及数学表达式几何意义的应用；
（5）解析几何、立体几何中的数形结合。
2．运用数形结合思想分析解决问题时，要遵循三个原则：
（1）等价性原则。要注意由于图象不能精确刻画数量关系所带来的负面效应；
（2）双方性原则。既要进行几何直观分析，又要进行相应的代数抽象探求，仅对代数问题进行几何分
析容易出错；
（3）简单性原则。不要为了“数形结合”而数形结合，具体运用时，一要考虑是否可行和是否有利；
二要选择好突破口，恰当设参、用参、建立关系，做好转化；三要挖掘隐含条件，准确界定参变
量的取值范围，特别是运用函数图象时应设法选择动直线与定二次曲线为佳。
3．进行数形结合的信息转换，主要有三个途径：
（1）建立坐标系，引入参变数，化静为动，以动求解，如解析几何；
（2）构造成转化为熟悉的函数模型，利用函数图象求解；
（3）构造成转化为熟悉的几何模型，利用图形特征求解。 4．常见的“以形助数”的方法有：
（1）借助于数轴、文氏图，树状图，单位圆；
（2）借助于函数图象、区域（如线性规划）、向量本身的几何背景；
（3）借助于方程的曲线，由方程代数式，联想其几何背景，并用几何知识解决问题，如点，直线，斜
率，距离，圆及其他曲线，直线和曲线的位置关系等，对解决代数问题都有重要作用，应充分予
以重视。
5．常见的把数作为手段的数形结合：
主要体现在解析几何中，历年高考的解答题都有这方面的考查。
经典例题透析
类型一：利用数形结合思想解决函数问题 1．（2010全国Ⅰ·理）已知函数a+2b的取值范围是
A．
解析：画出
由题设有，
B．的示意图。 ， ，若，且，则
C．
D．
∴ ，
令 ，
则
∵
∴ ， ∴ 在，
。 上是增函数。
∴
举一反三：
【变式1】已知函数
。选C.
在0≤x≤1时有最大值2，求a的值。
解析：∵
∴抛物线， 的开口向下，对称轴是，如图所示：
（1）
（2）
（3）
（1）当a＜0时，如图（1）所示， 当x=0时，y有最大值，即
∴1―a=2。即a=―1，适合a＜0。
（2）当0≤a≤1时，如图（2）所示， 当x=a时，y有最大值，即
。 。
∴a―a+1=2，解得
2。
∵0≤a≤1，∴不合题意。
（3）当a＞1时，如图（3）所示。
当x=1时，y有最大值，即
综合（1）（2）（3）可知，a的值是―1或2
【变式2】已知函数
（Ⅰ）写出
（Ⅱ）设的单调区间； ，求
在[0，a]上的最大值。
。
。∴a=2。
解析：
如图：
（1）的单调增区间：
，；单调减区间：（1，2）
时，，。
（2）当a≤1时，当
当
【变式3】已知
()
（1）若，在上的最大值为，最小值为，求证：；
（2）当]时，都
，时，对于给定的负数，有一个最大的正数，使得x∈[0,
有|f(x)|≤5，问a为何值时，M(a)最大？并求出这个最大值。
解析：
（1）若a=0，则c=0，∴f(x)=2bx
当-2≤x≤2时，f(x)的最大值与最小值一定互为相反数，与题意不符合，∴a≠0；
若a≠0，假设，
∴区间[-2,2]在对称轴的左外侧或右外侧，
∴f(x)在[-2，2]上是单调函数，
（这是不可能的）
（2）当，时，，
∵，所以，
（图1）
（图2）
（1）当
所以
即是方程，时（如图1），则的较小根，即
（2）当
所以
即是方程，时（如图2），则的较大根，即
（当且仅当
时，等号成立），
由于，
因此当且仅当时，取最大值
类型二：利用数形结合思想解决方程中的参数问题 2．若关于x的方程有两个不同的实数根，求实数m的取值范围。
思路点拨：将方程的左右两边分别看作两个函数，画出函数的图象，借助图象间的关系后求解，可简化运算。
解析：画出
和的图象，
当直线过点，即时，两图象有两个交点。
又由当曲线
与曲线
相切时，二者只有一个交点，
设切点
又直线，则过切点，即，得， ，解得切点，
∴当时，两函数图象有两个交点，即方程有两个不等实根。
误区警示：作图时，图形的相对位置关系不准确，易造成结果错误。
总结升华：
1．解决这类问题时要准确画出函数图象，注意函数的定义域。
2．用图象法讨论方程（特别是含参数的方程）解的个数是一种行之有效的方法，值得注意的是首先把
方程两边的代数式看作是两个函数的表达式（有时可能先作适当调整，以便于作图），然后作出两
个函数的图象，由图求解。
3．在运用数形结合思想分析问题和解决问题时，需做到以下四点：
①要准确理解一些概念和运算的几何意义以及曲线的代数特征；
②要恰当设参，合理用参，建立关系，做好转化；
③要正确确定参数的取值范围，以防重复和遗漏；
④精心联想“数”与“形”，使一些较难解决的代数问题几何化，几何问题代数化，便于问题求解。
举一反三：
【变式1】若关于x的方程在（－1，1）内有1个实根，则k的取值范围是 。
解析：把方程左、右两侧看作两个函数，利用函数图象公共点的个数来确定方程根的个数。
设（x∈－1，1）
如图：当内有1个实根。
或时，关于x的方程在（－1，1）
【变式2】若0＜θ＜2π，且方程取值范围及这两个实根的和。
有两个不同的实数根，求实数m的解析：将原方程
与直线
转化为三角函数的图象
有两个不同的交点时，求a的范围及α+β的值。
设，，在同一坐标中作出这两个函数的图象
由图可知，当
或
时，y1与y2的图象有两个不同交点，
即对应方程有两个不同的实数根，
若，设原方程的一个根为，则另一个根为。
∴。
若，设原方程的一个根为，则另一个根为，
∴。
所以这两个实根的和为或。
且由对称性可知，这两个实根的和为或。
类型三：依据式子的结构，赋予式子恰当的几何意义，数形结合解答
3．（北京2010·理）如图放置的边长为1的正方形PABC沿x轴滚动，设顶点，则函数的最小正周期为________；
在其两个相邻的轨迹方程是零点间的图象与x轴所围成的区域的面积为________.
解析：为便于观察，不妨先将正方形PABC向负方向滚动，使P点落在x轴上的点，此点即是函数的一个零点（图1）。
（一）以A为中心，将正方形沿x轴正方向滚动90°，此时顶点B位于x轴上，
顶点P画出了A为圆心，1为半径的个圆周（图2）；
（二）继续以B为中心，将正方形沿x轴正方向滚动90°，此时顶点C位于x轴上，
顶点P画出B为圆心，为半径的个圆周（图3）；
（三）继续以C为中心，将正方形沿x轴正方向滚动90°，此时，顶点P位于x轴上，为点，
它画出了C为圆心，1为半径的个圆周（图4）。为又一个零点。
∴ 函数的周期为4.
相邻两个零点间的图形与x轴围成的图形由两个半径为1的圆、
半径为的圆和两个直角边长为1的直角三角形，其面积是
。
举一反三：
2
2【变式1】已知圆C：(x+2)+y=1，P（x，y）为圆C上任一点。
（1）求的最大、最小值；
（2）求的最大、最小值；
（3）求x―2y的最大、最小值。
解析：联想所求代数式的几何意义，再画出草图，结合图象求解。
（1）
表示点（x，y）与原点的距离，
由题意知P（x，y）在圆C上，又C（―2，0），半径r=1。
∴|OC|=2。的最大值为2+r=2+1=3， 的最小值为2―r=2―1=1。
（2）表示点（x，y）与定点（1，2）两点连线的斜率，
设Q（1，2），，过Q点作圆C的两条切线，如图：
将整理得kx―y+2―k=0。
∴，解得，
所以的最大值为，最小值为。
（3）令x―2y=u，则可视为一组平行线系，
当直线与圆C有公共点时，可求得u的范围，
最值必在直线与圆C相切时取得。这时
∴
。 ，最小值为
。 ，
∴x―2y的最大值为
【变式2】求函数
解析：的最小值。
则y看作点P（x，0）到点A（1，1）与B（3，2）距离之和
如图，点A（1，1）关于x轴的对称点A＇（1，－1），则 即为P到A，B距离之和的最小值，∴
【变式3】若方程x+(1+a)x+1+a+b=0的两根分别为椭圆、双曲线的离心率，则值范围是（ ）
2的取
A．
B．或
C．
D．或
解析：如图
由题知方程的根，一个在（0，1）之间，一个在（1，2）之间，
则 ，即
下面利用线性规划的知识，则斜率
可看作可行域内的点与原点O（0，0）连线的 则 ，选C。
数形结合论文参考文献篇5
小学数学数形结合教学思想
一、数形结合教学思想在小学数学教学中的运用
数形结合作为一种教学思想方法，一般包含两方面内容，一个方面是“以形助数”，另一个方面的内容是“以数解形”。下面介绍这两个方面的内容在小学数学教学中的运用。
（一）以形助数
所谓“以形助数”，是指老师在讲解某些数学知识的时候，仅靠数字讲解学生不太能理解，借助几何图形的特点，将所要讲的知识点更直观地展现在学生面前，从而将抽象化的问题转变为具体化的问题。学生在学习行程问题的应用题时，可以运用图形的办法清晰地展现问题。如：一辆汽车从甲地开往乙地，先是经过上坡路，然后是平地，最后是下坡路，汽车上坡速度是每小时20千米，在平地的速度是每小时30千米，而下坡的速度则是每小时40千米，汽车从甲地到乙地一共上坡花了6小时，平地花了2小时，下坡花了4小时。请问汽车从乙地到甲地需要多长时间？在这道题中，既存在变量，又存在不变量。变量就是上坡路和下坡路随着汽车行驶的方向而发生改变，当汽车从乙地到甲地行驶时，原先的上坡路变成了下坡路，原先的斜坡路变成了上坡路。而不变量就是这两个路程汽车行驶的速度都是始终不变的。那么在解决问题的时候，就可以直观地展现出来。先算出汽车从乙地到甲地的上坡时间，即（40×4）÷20=8（小时），然后算出下坡所花费的时间，即（20×6）÷40=3（小时），而平地所花费的时间是不变的，所以汽车从乙地到甲地所花费的时间是8+3+2=13（小时）。在这道题中，运用图像将数学中的数量关系、运算都直观地展现出来，学生比较易于理解，这样的教学可以在很大程度上提高教学效率。
（二）以数解形
虽然图形可以更加直观地展现数学中的数量关系，但是对于一些几何图形，特别是小学数学中的几何图形来讲，非常简单，如果仅仅是通过直接观察反而看不出规律，这时就可以运用“以数解形”的方式教学。比如老师在讲解“平行四边形的特征”一课时，很多学生通过学习，对概念性的东西已经非常了解，但是在具体的情况下又不能真正把握清楚，老师在教学过程中就可以通过对四边形进行赋值，让学生更深刻地理解和把握。比如给出三组数字：（1）6，5，3，7（2）7，5，5，7（3）8，6，4，6在这三组数字中，让学生选择平行四边形。那么学生理解了平行四边形的概念，即两组对边要平行且相等，通过比较分析，知道只有第二组数字符合平行四边形的概念。因此，在这样的教学中应该充分运用“数”与“形”的特点，帮助学生更快地掌握知识要点。
二、在小学数学教学中运用数形结合教学思想需要注意的问题
（一）注意培养学生运用数形结合方法的习惯
老师在小学数学中运用数形结合的方法进行教学，帮助学生更好地理解知识点，同时要注意培养学生运用数形结合方法解决数学题的习惯。小学生在平时的做题过程中，常常会忘了使用“数形结合”方法，有的还不会。因此，老师在平时的教学中，一定要培养学生养成运用数形结合方法的好习惯。针对不同的年龄段学生，采用不同的方法，比如低年级学生，引导学生在生活中找实物，高年级的学生则学会简单的画图等，让学生建立数形结合的思想。
（二）数形结合要注意利用多媒体技术 多媒体的发展已经迅速蔓延到教学领域，对于比较难懂的知识点，老师要借助多媒体技术实施教学。因为多媒体技术可以移动图像，当碰到需要运用想象思维的时候，可以在多媒体中进行展示。
三、结语
在小学数学中运用数形结合教学思想，可以有效提高课堂教学效率，帮助学生更快地理解知识点。教师应根据不同情况，综合运用“以形助数”和“以数解形”这两种不同方式，取得更好的教学效果。
作者：季利明 工作单位：赤峰市元宝山区元宝山镇马林小学
数形结合论文参考文献篇6
《“数形结合”在小学低段数学教学中的应用》
龙南县龙翔学校
曾智勇
一、有利于把抽象的数学概念直观化，帮助学生形成概念
学生在进入小学学习之前，他们的知识基本上是建立在现实生活中客观事物上的。其知识特点是直观形象，看得见，摸得着。而进入小学阶段，教师如果运用数形结合来引入新知、建构概念、解决问题，就相当于在原有的知识体系上添砖加瓦，新知识的学习就变得更简单。这样新学的知识就会具有较高的稳定性和牢固性，而我们也达到了所需的教学效果，也就是所谓深入浅出。
例如：二年级数学第一册中《乘法的引入》。
用相同的图像引导学生列出同数相加的算式，这样一方面利用数形结合思想直观、形象、生动的特点展现乘法的初始状态，懂得乘法的由来（知识的产生与发展）；另一方面借助学生已有的知识经验——看图列加法算式，加深了图、式的对应思想，无形中也降低了教学难度。
我在实际课堂教学中运用PPT幻灯片技术展现一个盆子里有三个苹果，然后依次出现这样的第二个盆子，第三个盆子，一直到第五个盆子，如何来表示这个场景呢？学生自然会用同数相加的方法来表示。接着，教师一边出示课件一边提出：“如果有20个盆子，30个盆子，甚至100个盆子，你们怎么办呢？”学生一片哗然：“哦~~！算式太长了，本子都写不下呢。”这时，建立乘法概念水到渠成！数形结合使学生不仅理解了乘法的意义，而且懂得了乘法是同数相加的简便运算。
从学生的思维活动过程来看：在这个片段中，学生经历了由具体到抽象的思维过程，也就是由直观的小船，抽象成连加算式，抽象成乘法算式，经历了由一般到特殊的思维过程。
二、使计算中的算式形象化，帮助学生在理解算理
小学数学内容中，有相当部分的内容是计算问题，计算教学要引导学生理解算理。但在教学中很多老师忽视了引导学生理解算理，尤其在课改之后，老师们注重了算法多样化，在计算方法的研究上下了很大功夫，却更加忽视了算理的理解。我们应该意识到，算理就是计算方法的道理，学生不明白道理又怎么能更好的掌握计算方法呢？在教学时，教师应以清晰的理论指导学生理解算理，在理解算理的基础上掌握计算方法，正所谓“知其然、知其所以然。” 根据教学内容的不同，引导学生理解算理的策略也是不同的，我认为数形结合是帮助学生理解算理的一种很好的方式。
如，在教学有余数的除法时，我就是利用7根小棒来完成的教学的。首先出示7根小棒，问能搭出几个三角形？要求学生用除法算式表示搭三角形的过程。像这样，把算式形象化，学生看到算式就联想到图形，看到图形能联想到算式，更加有效地理解算理。
三、应用“数形结合”，提高学生的能力
对大脑的科研成果表明，大脑的两半球具有不同的功能，左半脑功能偏重于抽象的逻辑思维，讲究规范严谨，稳定封闭，如数的运算、代数式的运算、逻辑推理、归纳演绎等。右半脑功能则偏听偏重于形象思维，讲究直觉想象，自由发散，如猜想、假设、构思开拓、奇异创造等。左、右半脑的功能各有特征，如果互相补充就会使大脑功能更加健全和发达。“数形结合”就同时运用了左、右半脑的功能，在培养形象思维能力时，也促进了逻辑思维能力的发展。
1．“数形结合”有助于对数学知识的记忆
“记忆是智慧的仓库”。人的知识、经验的积累、技能的形成、技巧的熟练、思维能力的培养、事业的成就等都离不开良好的记忆能力。 中等职业教育中的数学知识是基础性知识，需要牢固地记忆并掌握这些基础知识，在此基础上做到灵活应用，在整个教学过程中，这二者是相辅相成的。记忆正是掌握知识的基本手段，记忆的过程也就是知识积累的过程，同时有助于知识的深化，知识水平的提高更是要以记忆为前提。有的学生面对一些数学问题束手无策，找不到解题的思路与方法，这与脑子里记忆的数学知识太少有关。只有对数学的基础知识记忆牢固，才能做到温故而知新，应用时熟能生巧，才能进一步发展数学思维，提高数学能力。教学中运用形象记忆的特点，使抽象的数学尽可能地形象化，对学生输入的数学信息和映象就更加深刻，在学生的脑海中形成数学的模型，可以形象地帮助学生理解和记忆。
2．应用“数形结合”，训练学生数学直觉思维能力
在数学里，存在着大量的直觉思维。这就是人们在求解数学问题时，运用已有的知识，从整体上对数学对象及其结构迅速识别、判断，进而作出大胆的猜想，合理的假设，并作出试探性的结论。它具有顿悟、飞跃的特征。
3．应用“数形结合”，培养学生的发散思维能力
发散思维是从同一来源的材料或同一个问题，探求不同思路和方法的思维过程，其思维方向是从不同角度、不同方面看待同一个问题。在教学中常借助“一题多解”或“一题多变”的形式，突出已知与未知之间的矛盾联系，来引发学生提出新的思想、新的方法、新的问题，达到知识融会贯通，发展思维的广阔性和灵活性，激励学生的好奇心和求知欲，提高解决问题的应变能力。
四、应用“数形结合”，解决大量实际问题
运用数形结合有时能使数量之间的内在联系变得比较直观，成为解决问题的有效方法之一。在分析问题的过程中，注意把数和形结合起来考察，根据问题的具体情形，把图形的问题转化为数量关系的问题，或者把数量关系的问题转化为图形的问题，使复杂问题简单化，抽象问题具体化，化难为易。
如植树问题，就是从图形中总结出解决方法。先模拟植树，得出线上植树的三种情况。
“___”代表一段路，用“ / ”代表一棵树，画“ / ”就表示种了一棵树。让学生在这段路上种上四棵树，想想、做做，你能有几种种法？ 学生操作，独立完成后，在小组里交流说说你是怎么种的？
师反馈，实物投影学生摆的情况。师根据学生的反馈相应地把三种情况都贴于黑板：
① _________两端都种
② ____________ 或 ____________ 一端栽种
③ _______________两端都不种
师生共同小结得出： 两端都种：棵数＝段数＋1； 一端栽种：棵数=段数；两端都不种 ：棵数=段数—1。本学期遇到了的几个题型，如锯木头、路边植树、上楼梯等问题，通过“形”的教学收到了明显的效果。许多孩子不会列算式，但是，会先画图，利用图形再列算式，像这些题目都是利用线段图帮助学生学习。让学生有可以凭借的工具，借助数形结合将文字信息与学习基础耦合，使得学习得以继续，使得学生思维发展有了凭借，也使得数学学习的思想方法真正得以渗透。
数形结合，其实质是将抽象的数学语言与直观的图形联系起来，使抽象思维和形象思维结合起来，通过对图形的处理，发挥直观对抽象的支柱作用，揭示数和形之间的内在联系，实现抽象概念和具体形象、表象之间的转化，发展学生的思维。数形结合是学生建构知识的一个拐杖，有了这根拐杖，学生们才能走得更稳、更好。实践证明，抽象的数学概念和复杂的数量关系，借助图形使之形象化、直观化、简单化。
因此教师要从数学发展的全局着眼，从具体的教学过程着手，有目的、有计划地进行渗透数形结合思想的教学，使学生逐步形成数形结合思想，并使之成为学习数学、解决数学问题的工具，这是我们数学教学着力追求的目标。
数形结合论文参考文献篇7
在数学教学中渗透数形结合思想
在数学教学中，教师如果能灵活地借助数形结合思想，会将数学问题化难为易，帮助学生理解数学问题。那么，如何在初中数学教学中挖掘数形结合思想并适时地加以应用呢？下面笔者根据日常的教学实践谈谈自己的见解。
一、从有理数开始就让中学生及早体会数形结合思想
在七年级开始，数轴的引入就大大丰富了有理数的内容，对学生认识有理数、相反数、绝对值以及有理数的运算都有很大的帮助，由于对每一个有理数，数轴上都有唯一确定的点与它对应，因此，两个有理数大小的比较，是通过这两个有理数在数轴上的对应点的位置关系进行的。相反数、绝对值概念则是通过相应的数轴上的点与原点的位置关系来刻划的。尽管我们学习的是有理数，但我们要求学生时刻牢记它的形：数轴上的点。通过渗透数形结合的思想方法，帮助学生正确理解有理数的性质及其运算法则。
例如:
1、比较两个数的大小方法：数轴上两个点表示的数，右边的数总比左边的大，正数大于零，负数小于0，正数大于负数；
2、比2℃低5℃的温度是_______；
3、若|a|=2，则a=______；
4、七年级《数学》(上)的习题，一辆货车从超市出发，向东走了3千米到达小彬家，继续走了1.5千米到达小颖家，然后向西走了9.5千米到达小明家，最后回到超市。在习题中也常出现这类题目。
这些内容如果适当应用数形结合的思想就很容易理解掌握了。
二、不等式(组)内容蕴藏着数形结合思想
在进行 “一元一次不等式和一元一次不等式组”，教学时，为了加深学生对不等式解集的理解，老师要适时地把不等式的解集在数轴上直观地表示出来，使学生形象地看到，不等式有无限多个解。这里蕴藏着数形结合的重要思想方法，在数轴上表示数是数形结合思想的具体体现，而在数轴上表示数集，则比在数轴上表示数又前进了一步。确定一元一次不等式组的解集时，利用数轴更为有效，如：在分析不等式组的解集情况时，如果老师利用数轴把数转化为“形”从而找出两个不等式的公共解，教学效果会事倍功半。如果老师能结合数轴，画图表示各个不等式的解集，就很容易写出不等式组几种类型的解集。
三、应用题的内容也隐含丰富的数形结合思想。
用示意图分析数学问题，就是运用数形结合思想的充分体现。小学教师在帮助学生分析解应用题，尤其有关行程问题、工程问题等方面的内容时，都不忘用示意图。而到了中学，学生的理解分析能力都有了很大的提高，应用题的内容更为丰富了，复杂了、难度更大了，并且其难点是如何根据题意寻找等量关系布列方程，要突破这一难点，老师在教学中必须充分运用数形结合思想，根据题意画出相应的示意图，才能帮助学生迅速找出等量关系列出方程，从而突破难点。数形结合的思想，是最基本的数学思想之一，应用范围较为广泛，因此我们数学老师在教学中要注重数形结合思想方法的渗透、概括和总结，要重视数学思想方法在解题中的应用，数与形是数学中相互依赖的两个方面，在教学中要挖掘数与形的联系，从而加深对所学知识的理解和掌握。
数形结合论文参考文献篇8
小学数学数形结合教学思想
一、数形结合教学思想在小学数学教学中的运用
数形结合作为一种教学思想方法，一般包含两方面内容，一个方面是“以形助数”，另一个方面的内容是“以数解形”。下面介绍这两个方面的内容在小学数学教学中的运用。
（一）以形助数
所谓“以形助数”，是指老师在讲解某些数学知识的时候，仅靠数字讲解学生不太能理解，借助几何图形的特点，将所要讲的知识点更直观地展现在学生面前，从而将抽象化的问题转变为具体化的问题。学生在学习行程问题的应用题时，可以运用图形的办法清晰地展现问题。如：一辆汽车从甲地开往乙地，先是经过上坡路，然后是平地，最后是下坡路，汽车上坡速度是每小时20千米，在平地的速度是每小时30千米，而下坡的速度则是每小时40千米，汽车从甲地到乙地一共上坡花了6小时，平地花了2小时，下坡花了4小时。请问汽车从乙地到甲地需要多长时间？在这道题中，既存在变量，又存在不变量。变量就是上坡路和下坡路随着汽车行驶的方向而发生改变，当汽车从乙地到甲地行驶时，原先的上坡路变成了下坡路，原先的斜坡路变成了上坡路。而不变量就是这两个路程汽车行驶的速度都是始终不变的。那么在解决问题的时候，就可以直观地展现出来。先算出汽车从乙地到甲地的上坡时间，即（40×4）÷20=8（小时），然后算出下坡所花费的时间，即（20×6）÷40=3（小时），而平地所花费的时间是不变的，所以汽车从乙地到甲地所花费的时间是8+3+2=13（小时）。在这道题中，运用图像将数学中的数量关系、运算都直观地展现出来，学生比较易于理解，这样的教学可以在很大程度上提高教学效率。
（二）以数解形
虽然图形可以更加直观地展现数学中的数量关系，但是对于一些几何图形，特别是小学数学中的几何图形来讲，非常简单，如果仅仅是通过直接观察反而看不出规律，这时就可以运用“以数解形”的方式教学。比如老师在讲解“平行四边形的特征”一课时，很多学生通过学习，对概念性的东西已经非常了解，但是在具体的情况下又不能真正把握清楚，老师在教学过程中就可以通过对四边形进行赋值，让学生更深刻地理解和把握。比如给出三组数字：（1）6，5，3，7（2）7，5，5，7（3）8，6，4，6在这三组数字中，让学生选择平行四边形。那么学生理解了平行四边形的概念，即两组对边要平行且相等，通过比较分析，知道只有第二组数字符合平行四边形的概念。因此，在这样的教学中应该充分运用“数”与“形”的特点，帮助学生更快地掌握知识要点。
二、在小学数学教学中运用数形结合教学思想需要注意的问题
（一）注意培养学生运用数形结合方法的习惯
老师在小学数学中运用数形结合的方法进行教学，帮助学生更好地理解知识点，同时要注意培养学生运用数形结合方法解决数学题的习惯。小学生在平时的做题过程中，常常会忘了使用“数形结合”方法，有的还不会。因此，老师在平时的教学中，一定要培养学生养成运用数形结合方法的好习惯。针对不同的年龄段学生，采用不同的方法，比如低年级学生，引导学生在生活中找实物，高年级的学生则学会简单的画图等，让学生建立数形结合的思想。
（二）数形结合要注意利用多媒体技术 多媒体的发展已经迅速蔓延到教学领域，对于比较难懂的知识点，老师要借助多媒体技术实施教学。因为多媒体技术可以移动图像，当碰到需要运用想象思维的时候，可以在多媒体中进行展示。
三、结语
在小学数学中运用数形结合教学思想，可以有效提高课堂教学效率，帮助学生更快地理解知识点。教师应根据不同情况，综合运用“以形助数”和“以数解形”这两种不同方式，取得更好的教学效果。
作者：季利明 工作单位：赤峰市元宝山区元宝山镇马林小学
数形结合论文参考文献篇9
高考冲刺：数形结合
编稿：林景飞
审稿：张扬
责编：辛文升 热点分析 高考动向
数形结合应用广泛，不仅在解答选择题、填空题中显示出它的优越性，而且在解决一些抽象数学问题中常起到事半功倍的效果。高考中利用数形结合的思想在解决选、填题中十分方便，而在解答题中书写应以代数推理论证为主，几何方法可作为思考的方法。数形结合的重点是研究“以形助数”，但“以数解形”在近年高考试题中也得到了加强，其发展趋势不容忽视。历年的高考都有关于数形结合思想方法的考查，且占比例较大。
知识升华
数形结合是通过“以形助数”（将所研究的代数问题转化为研究其对应的几何图形）或“以数助形”（借助数的精确性来阐明形的某种属性），把抽象的数学语言与直观的图形结合起来思考，也就是将抽象思维与形象思维有机地结合起来，是解决问题的一种数学思想方法。它能使抽象问题具体化，复杂问题简单化，在数学解题中具有极为独特的策略指导与调节作用。
具体地说，数形结合的基本思路是：根据数的结构特征，构造出与之相应的几何图形，并利用图形的特性和规律，解决数的问题；或将图形信息全部转化成代数信息，使解决形的问题转化为数量关系的讨论。
选择题，填空题等客观性题型，由于不要求解答过程，就某些题目而言，这给学生创造了灵活运用数形结合思想，寻找快速思路的空间。但在解答题中，运用数形结合思想时，要注意辅之以严格的逻辑推理，“形”上的直观是不够严密的。 1．高考试题对数形结合的考查主要涉及的几个方面：
（1）集合问题中Venn图（韦恩图）的运用；
（2）数轴及直角坐标系的广泛应用；
（3）函数图象的应用；
（4）数学概念及数学表达式几何意义的应用；
（5）解析几何、立体几何中的数形结合。
2．运用数形结合思想分析解决问题时，要遵循三个原则：
（1）等价性原则。要注意由于图象不能精确刻画数量关系所带来的负面效应；
（2）双方性原则。既要进行几何直观分析，又要进行相应的代数抽象探求，仅对代数问题进行几何分
析容易出错；
（3）简单性原则。不要为了“数形结合”而数形结合，具体运用时，一要考虑是否可行和是否有利；
二要选择好突破口，恰当设参、用参、建立关系，做好转化；三要挖掘隐含条件，准确界定参变
量的取值范围，特别是运用函数图象时应设法选择动直线与定二次曲线为佳。
3．进行数形结合的信息转换，主要有三个途径：
（1）建立坐标系，引入参变数，化静为动，以动求解，如解析几何；
（2）构造成转化为熟悉的函数模型，利用函数图象求解；
（3）构造成转化为熟悉的几何模型，利用图形特征求解。 4．常见的“以形助数”的方法有：
（1）借助于数轴、文氏图，树状图，单位圆；
（2）借助于函数图象、区域（如线性规划）、向量本身的几何背景；
（3）借助于方程的曲线，由方程代数式，联想其几何背景，并用几何知识解决问题，如点，直线，斜
率，距离，圆及其他曲线，直线和曲线的位置关系等，对解决代数问题都有重要作用，应充分予
以重视。
5．常见的把数作为手段的数形结合：
主要体现在解析几何中，历年高考的解答题都有这方面的考查。
经典例题透析
类型一：利用数形结合思想解决函数问题 1．（2010全国Ⅰ·理）已知函数a+2b的取值范围是
A．
解析：画出
由题设有，
B．的示意图。 ， ，若，且，则
C．
D．
∴ ，
令 ，
则
∵
∴ ， ∴ 在，
。 上是增函数。
∴
举一反三：
【变式1】已知函数
。选C.
在0≤x≤1时有最大值2，求a的值。
解析：∵
∴抛物线， 的开口向下，对称轴是，如图所示：
（1）
（2）
（3）
（1）当a＜0时，如图（1）所示， 当x=0时，y有最大值，即
∴1―a=2。即a=―1，适合a＜0。
（2）当0≤a≤1时，如图（2）所示， 当x=a时，y有最大值，即
。 。
∴a―a+1=2，解得
2。
∵0≤a≤1，∴不合题意。
（3）当a＞1时，如图（3）所示。
当x=1时，y有最大值，即
综合（1）（2）（3）可知，a的值是―1或2
【变式2】已知函数
（Ⅰ）写出
（Ⅱ）设的单调区间； ，求
在[0，a]上的最大值。
。
。∴a=2。
解析：
如图：
（1）的单调增区间：
，；单调减区间：（1，2）
时，，。
（2）当a≤1时，当
当
【变式3】已知
()
（1）若，在上的最大值为，最小值为，求证：；
（2）当]时，都
，时，对于给定的负数，有一个最大的正数，使得x∈[0,
有|f(x)|≤5，问a为何值时，M(a)最大？并求出这个最大值。
解析：
（1）若a=0，则c=0，∴f(x)=2bx
当-2≤x≤2时，f(x)的最大值与最小值一定互为相反数，与题意不符合，∴a≠0；
若a≠0，假设，
∴区间[-2,2]在对称轴的左外侧或右外侧，
∴f(x)在[-2，2]上是单调函数，
（这是不可能的）
（2）当，时，，
∵，所以，
（图1）
（图2）
（1）当
所以
即是方程，时（如图1），则的较小根，即
（2）当
所以
即是方程，时（如图2），则的较大根，即
（当且仅当
时，等号成立），
由于，
因此当且仅当时，取最大值
类型二：利用数形结合思想解决方程中的参数问题 2．若关于x的方程有两个不同的实数根，求实数m的取值范围。
思路点拨：将方程的左右两边分别看作两个函数，画出函数的图象，借助图象间的关系后求解，可简化运算。
解析：画出
和的图象，
当直线过点，即时，两图象有两个交点。
又由当曲线
与曲线
相切时，二者只有一个交点，
设切点
又直线，则过切点，即，得， ，解得切点，
∴当时，两函数图象有两个交点，即方程有两个不等实根。
误区警示：作图时，图形的相对位置关系不准确，易造成结果错误。
总结升华：
1．解决这类问题时要准确画出函数图象，注意函数的定义域。
2．用图象法讨论方程（特别是含参数的方程）解的个数是一种行之有效的方法，值得注意的是首先把
方程两边的代数式看作是两个函数的表达式（有时可能先作适当调整，以便于作图），然后作出两
个函数的图象，由图求解。
3．在运用数形结合思想分析问题和解决问题时，需做到以下四点：
①要准确理解一些概念和运算的几何意义以及曲线的代数特征；
②要恰当设参，合理用参，建立关系，做好转化；
③要正确确定参数的取值范围，以防重复和遗漏；
④精心联想“数”与“形”，使一些较难解决的代数问题几何化，几何问题代数化，便于问题求解。
举一反三：
【变式1】若关于x的方程在（－1，1）内有1个实根，则k的取值范围是 。
解析：把方程左、右两侧看作两个函数，利用函数图象公共点的个数来确定方程根的个数。
设（x∈－1，1）
如图：当内有1个实根。
或时，关于x的方程在（－1，1）
【变式2】若0＜θ＜2π，且方程取值范围及这两个实根的和。
有两个不同的实数根，求实数m的解析：将原方程
与直线
转化为三角函数的图象
有两个不同的交点时，求a的范围及α+β的值。
设，，在同一坐标中作出这两个函数的图象
由图可知，当
或
时，y1与y2的图象有两个不同交点，
即对应方程有两个不同的实数根，
若，设原方程的一个根为，则另一个根为。
∴。
若，设原方程的一个根为，则另一个根为，
∴。
所以这两个实根的和为或。
且由对称性可知，这两个实根的和为或。
类型三：依据式子的结构，赋予式子恰当的几何意义，数形结合解答
3．（北京2010·理）如图放置的边长为1的正方形PABC沿x轴滚动，设顶点，则函数的最小正周期为________；
在其两个相邻的轨迹方程是零点间的图象与x轴所围成的区域的面积为________.
解析：为便于观察，不妨先将正方形PABC向负方向滚动，使P点落在x轴上的点，此点即是函数的一个零点（图1）。
（一）以A为中心，将正方形沿x轴正方向滚动90°，此时顶点B位于x轴上，
顶点P画出了A为圆心，1为半径的个圆周（图2）；
（二）继续以B为中心，将正方形沿x轴正方向滚动90°，此时顶点C位于x轴上，
顶点P画出B为圆心，为半径的个圆周（图3）；
（三）继续以C为中心，将正方形沿x轴正方向滚动90°，此时，顶点P位于x轴上，为点，
它画出了C为圆心，1为半径的个圆周（图4）。为又一个零点。
∴ 函数的周期为4.
相邻两个零点间的图形与x轴围成的图形由两个半径为1的圆、
半径为的圆和两个直角边长为1的直角三角形，其面积是
。
举一反三：
2
2【变式1】已知圆C：(x+2)+y=1，P（x，y）为圆C上任一点。
（1）求的最大、最小值；
（2）求的最大、最小值；
（3）求x―2y的最大、最小值。
解析：联想所求代数式的几何意义，再画出草图，结合图象求解。
（1）
表示点（x，y）与原点的距离，
由题意知P（x，y）在圆C上，又C（―2，0），半径r=1。
∴|OC|=2。的最大值为2+r=2+1=3， 的最小值为2―r=2―1=1。
（2）表示点（x，y）与定点（1，2）两点连线的斜率，
设Q（1，2），，过Q点作圆C的两条切线，如图：
将整理得kx―y+2―k=0。
∴，解得，
所以的最大值为，最小值为。
（3）令x―2y=u，则可视为一组平行线系，
当直线与圆C有公共点时，可求得u的范围，
最值必在直线与圆C相切时取得。这时
∴
。 ，最小值为
。 ，
∴x―2y的最大值为
【变式2】求函数
解析：的最小值。
则y看作点P（x，0）到点A（1，1）与B（3，2）距离之和
如图，点A（1，1）关于x轴的对称点A＇（1，－1），则 即为P到A，B距离之和的最小值，∴
【变式3】若方程x+(1+a)x+1+a+b=0的两根分别为椭圆、双曲线的离心率，则值范围是（ ）
2的取
A．
B．或
C．
D．或
解析：如图
由题知方程的根，一个在（0，1）之间，一个在（1，2）之间，
则 ，即
下面利用线性规划的知识，则斜率
可看作可行域内的点与原点O（0，0）连线的 则 ，选C。
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